Grupos, Teoría de los - pág.4

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De los axiomas precedentes se derivan una serie de propiedades elementales de los grupos. Así, por ejemplo, el elemento neutro de una ley de composición es único, y la relación de simetría es recíproca. Si a es el simétrico de b, b es el simétrico de a. Análogamente, el elemento simétrico es único. Tipos de grupos La estructura de grupo es común a muy distintos tipos de conjuntos en los que se definen diversas leyes. Los números enteros y las fracciones forman un grupo abeliano para la operación de la multiplicación y los números enteros positivos y negativos son un grupo abeliano respecto a la adición. Sin embargo, no siempre se trata de números. En geometría, por ejemplo, los desplazamientos también constituyen un grupo. Tal es el caso, cuando dentro de un plano se parte de un punto y se llega a otro por medio de desplazamientos rectilíneos. Otro ejemplo geométrico lo constituyen las simetrías de un cubo: las rotaciones de 90° alrededor de los ejes que pasan por los puntos medios de las caras superior e inferior presentan, asimismo, estructura de grupo. Subgrupos Se designa con el término subgrupo a aquel conjunto que está incluido en otro, de modo que ambos presentan estructura de grupo para un ley de composición interna determinada.