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Enciclopedia de Matemáticas
 

Grupos, Teoría de los - pág.5

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Todo grupo admite dos subgrupos impropios: uno es el subconjunto formado únicamente por el elemento neutro y el otro es el mismo grupo considerado como subconjunto de él mismo. En geometría, las rotaciones forman un subgrupo dentro del grupo de los movimientos. Los múltiplos de un mismo entero forman un subgrupo del grupo aditivo de los enteros.
Isomorfismo
Dos grupos son isomorfos en los casos en los que existe una aplicación biyectiva compatible con las leyes de composición definidas en ambos. A este respecto, la aplicación biyectiva se define como aquella que es a la vez inyectiva -si cada dos elementos diferentes de un conjunto tienen imágenes distintas en el otro- y epiyectiva -si todo elemento del segundo conjunto es imagen de uno del primero-. En particular, los elementos neutros de grupos isomorfos se corresponden. Lo mismo ocurre con los elementos simétricos. Dos grupos isomorfos se distinguen en la notación. No obstante, se tratan formalmente de manera análoga. Es decir, se obtienen propiedades que son válidas para ellos simultáneamente. En esta abstracción radica la importancia de los isomorfismos entre grupos, así como, en general, entre estructuras algebráicas.
Puede ocurrir que el isomorfismo se establezca entre un conjunto y él mismo.


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