Lógica matemática - pág.3

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Ernst Zermelo en 1904 formuló un axioma de elección acerca de conjuntos no vacíos, es decir, aquellos que contienen elementos. En una familia de conjuntos no vacíos, cualquiera que sea su tamaño, se puede elegir al mismo tiempo un elemento de cada conjunto, y considerar el conjunto A que no podía pertenecer a ninguna categoría como constituido por esos elementos. Con este axioma se pudieron demostrar teoremas matemáticos clásicos carentes de lógica aparente, aunque se inició la polémica de la validez de los teoremas basados en él y su equiparación con los teoremas que no necesitan de su uso. En la práctica, se terminó por indicar si en un determinado teorema se había empleado o no el axioma de elección. Kurt Gödel declaró en el siglo XX que un sistema matemático que fuera suficiente únicamente para la aritmética clásica tenía que ser incompleto. Añadió que cualquier sistema puede ser coherente al incorporarle el axioma de elección, y se mantiene de igual manera al incluir la negación de dicho axioma de elección. La hipótesis de continuidad general también es coherente con las matemáticas ordinarias, que se mantienen coherentes si se les añaden simultáneamente el axioma de elección y la hipótesis de continuidad general.