Enciclopedia de Matemáticas
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Grupos, Teoría de los
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En general se suele conocer con la palabra grupo a un conjunto de elementos análogos. Sin embargo, matemáticamente, el concepto que denota esta voz presenta un significado mucho más restringido y preciso. La matemática moderna se ocupa de buscar las propiedades que presentan las operaciones dentro de los conjuntos. En función de estas propiedades, los conjuntos se pueden clasificar de modo que adquieran una estructura común.
Un grupo es un conjunto provisto de una ley de composición interna que satisface tres propiedades fundamentales: la asociativa, el elemento neutro y el elemento simétrico. En tales términos, una ley de composición interna es una operación entre los elementos de un conjunto cuyo resultado pertenece también al conjunto. Un grupo no es nunca vacío; al menos ha de tener un elemento. La ley de composición interna puede ser muy variada y depende del tipo de entes que constituyan el conjunto. Si, por ejemplo, el conjunto está formado por números, son operaciones internas la suma y la multiplicación. Cuando el grupo cumple la propiedad conmutativa, es abeliano.
Exposición general
Hasta los siglos XVIII y XIX no se reconocieron los grupos como sistemas matemáticos. Uno de los primeros en asignarles tal carácter fue el matemático francés Joseph-Louis Lagrange.
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